В этой статье на примере подробно разобрана схема исследования функции и построение ее графика. Алгоритм: область определения и область . Область определения функции; свойства функции: чётность, нечётность; точки пересечения. План исследования функций и построения графика. Подборка онлайн калькуляторов для полного исследования функции и построение графика. Найти Область определения функции. Вычислить . Как построить график онлайн? Графический калькулятор Desmos.

Полное исследование функции и построение графика. Контрольные онлайн. Полное исследование функции и построение графика.

Для полного исследования функции и построения ее графика рекомендуется следующая схема: А) найти область определения, точки разрыва; исследовать поведение функции вблизи точек разрыва (найти пределы функции слева и справа в этих точках). Указать вертикальные асимптоты. Б) определить четность или нечетность функции и сделать вывод о наличии симметрии. Если , то функция четная, симметрична относительно оси OY; при  функция нечетная, симметрична относительно начала координат; а если – функция общего вида. Инструкция По Укладке Плитки Пола далее. В) найти точки пересечения функции с осями координат OY и OX (если это возможно), определить интервалы знакопостоянства функции. Границы интервалов знакопостоянства функции определяются точками, в которых функция равна нулю(нули функции) или не существует и границами области определения этой функции. В интервалах, где  график функции расположен над осью OX, а где – под этой осью.

Построение графика функции онлайн, а также исследование функции: нахождение точек. Наш калькулятор позволяет исследовать график функции. Помощь студентам по высшей математике онлайн: контрольные, консультации по. Для полного исследования функции и построения ее графика . Данный калькулятор предназначен для построения графиков функций. Полное исследование функции и построение графика. Для этого вставляем исследуемую функцию в каждый калькулятор, как . Математические сервисы онлайн (MAW) · Введение · Функции · Производныe · Производная и частные производные · Исследование функций .

Г) найти первую производную  функции, определить ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где  функция возрастает, а где  убывает. Если  меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция имеет максимум, а если с минуса на плюс, то минимум).

Найти значения функции в точках экстремумов. Д) найти вторую производную , ее нули и интервалы знакопостоянства. В интервалах, где < 0 график функции выпуклый, а где  – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках. Е) найти наклонные (горизонтальные) асимптоты, уравнения которых имеют вид ; где .

При  график функции будет иметь две наклонные асимптоты, причем каждому значению x при  и  могут соответствовать и два значения b. Ж) найти дополнительные точки для уточнения графика (если в этом есть необходимость) и построить график. Пример 1 Исследовать функцию  и построить ее график. Тогда – вертикальная асимптота. Б) т. е. Нули функции (точки пересечения графика с осью OX): полагаем y=0; тогда. Дискриминант квадратного уравнения меньше нуля, значит нулей не существует. Тогда границей интервалов знакопостоянства является точка x=1, где функция не существует.

Знак функции в каждом из интервалов определяем методом частных значений: Из схемы видно, что в интервале график функции расположен под осью OX, а в интервале –над осью OX. Г) Выясняем наличие критических точек.

Критические точки (где  или не существует) находим из равенств  и . Получаем: x. 1=1, x. Составим вспомогательную таблицу.

Таблица 1              (В первой строке записываются критические точки и интервалы, на которые делят эти точки ось OX; во второй строке указываются значения производной в критических точках и знаки  на интервалах. Знаки определяются методом частных значений. В третьей строке указываются значения функции y(x) в критических точках и показывается поведение функции – возрастание или убывание на соответствующих интервалах числовой оси. Дополнительно обозначается наличие минимума или максимума.

Д) Находим интервалы выпуклости и вогнутости фукнции.; строим таблицу как в пункте Г); только во второй строке записываем знаки , а в третьей указываем вид выпуклости. Область определения функции. Очевидно, что эта функция определена на всей числовой прямой, кроме точек “” и “”, т. Поведение функции при стремлении аргумента к бесконечности, существование точек разрыва и проверка наличия наклонных асимптот.

Проверим сначала как ведет себя функция при приближении к бесконечности влево и вправо. Таким образом, при  функция стремится к 1, т. Точки пересечения с осями координат. Здесь необходимо рассмотреть две ситуации: найти точку пересечения с осью Ох и с осью Оу.

Признаком пересечения с осью Ох является нулевое значение функции, т. При этом,т. е. Определение точек экстремума и промежутков возрастания и убывания. Для исследования этого вопроса определим первую производную. Приравняем к нулю значение первой производной.

Точки перегиба и участки выпуклости и вогнутости. Эта характеристика поведения функции определяется с помощью второй производной. Определим сначала наличие точек перегиба. Вторая производная функции равна. При  и функция вогнута; при   и функция выпуклая.

Построение графика функции. Используя в пунктах найденные величины, построим схематически график функции: Пример. Исследовать функцию  и построить её график. Решение Заданная функция является непериодической функцией общего вида. Её график проходит через начало координат, так как . Областью определения заданной функции являются все значения переменной , кроме  и , при которых знаменатель дроби обращается в ноль. Следовательно, точки  и  являются точками разрыва функции.

Так как , , то точка  является точкой разрыва второго рода. Так как ,, то точка  является точкой разрыва второго рода. Прямые  и  являются вертикальными асимптотами графика функции. Уравнения наклонных асимптот , где , . При  , . Таким образом, при  и  график функции имеет одну асимптоту . Найдем интервалы возрастания и убывания функции и точки экстремумов.

Первая производная функции  при  и , следовательно, при  и  функция возрастает. При  , следовательно, при , функция убывает. При ,  функция не определена, следовательно, график функции имеет одну точку перегиба . Построим график функции. Учебники. Предлагаем наиболее хорошие на наш взгляд учебники для самостоятельного изучения математики и экономики.

Справочники. Компактные справочные материалы, формулы по различным разделам высшей математики. Онлайн калькуляторы Некоторые задачи можно решить онлайн, введя числовые значения, с подробным решением.

Калькулятор для исследования функций . Находим область определения функции. Выясняем, не является ли функция: а) четной, нечетной . Находим точки пересечения графика функции с осями координат и интервалы знакопостоянства функции. Для того, чтобы найти точки пересечения с осью Ох выбираем знак .

Находим вертикальные, наклонные, горизонтальные асимптоты графика функции. Находим точки экстремума 6. Найти точки перегиба графика функции и интервалы его выпуклости и вогнутости. Построить график функции, используя все полученные результаты исследования.

Смотри также решенные примеры в авторском исполнении. В примере подробно изложена методика исследования функций.